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作家：James Propp 2023-5-18
译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号）2023-5-22
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1853年，数学家兼物理学家威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）临了一次拜访了凯瑟琳·巴洛（Catherine Barlow），他也曾强烈地爱着她，仍对她充满情态。三十年前，当他照旧都柏林三一学院的一年级学生，而她照旧凯瑟琳·迪斯尼（Catherine Disney）姑娘时，她俘得到了他的心——而她的父母其后决定把她嫁给威廉·巴洛牧师，一个比她大十五岁的有钱东说念主，以为会很稳妥她。事实评释他们错了。【注#1】
三十年后，若是巴洛牧师对汉密尔顿出目下他家中感到起火，可能会见原他的私行闯入，因为他的妻子快死了，并央求汉密尔顿临了一次探望。汉密尔顿是一位已有著述出书的诗东说念主和科学家，在他早期的一些诗歌中深情地写过她，但他目下献给她的不是诗歌，而是他写的一篇数学论文，他我方发明的主题是四元数分析，并赢得了许多的赞誉，以至于成为都柏林的必修老成主题之一。事实上，一年前，凯瑟琳的犬子需要一些四元数的率领，汉密尔顿指点了这个男孩，也许恰有契机上演他旧情东说念主犬子的父亲变装。
凯瑟琳谈到她与巴洛的婚配如何被她的父母强加给她时，汉密尔顿为她感到震怒。她告诉他她不圆满的婚配，以及她多年来对汉密尔顿坚强不移的爱，他被贵重所驯服。然后，在来访快结果时，他尝试了三十年前应该尝试的事情。“站起来啊，我会禁受并带走她正当给我的一切作为我的犒赏 —— 一个吻，不，许多吻：因为已知接近死一火使这种圣餐变得圣洁。事实上，咱们俩不可能不激昂，这是咱们有生以来第一次，咱们的嘴唇邂逅......但是，我敢断言，在那为数未几的被允许的时刻，咱们的深情传递是雪白的，不像那些在回诞辰中既不成婚也不被赐予婚配的东说念主雷同，而像天国中天主的天神那样。
凯瑟琳在威廉这次拜谒后病笃了两周，然后在53岁时死字。与此同期，威廉回到了他的家和他的妻子身边，且归完成他所以为的株连和服务：向天下解释四元数的任务。他知说念我方照旧莫得作念对。他会在他的余生中链接尝试。
狂喜爱好者
年青的威廉·罗文·汉密尔顿有许多兴致和掌持他感兴致的任何事物的决窍。这个男孩在五岁时学会了拉丁语、希腊语和希伯来语。他对数字莫得兴致，直到八岁时在旅游中碰到了精于算计的神童泽拉·科尔本（Zerah Colburn）。威廉很快自学了默算的艺术，并与这位年青的好意思国东说念主竞争，固然他不可击败科尔本，但从各方面来看，他的弘扬都值得讴颂。
汉密尔顿也心爱古典学（辩论古希腊古罗马精致的西方学科，需要熟悉古希腊语和拉丁语，zzllrr小乐译注），并在三一的第一年赢得了 optime（最高荣誉）——这是几十年来其他一年级学生从未完成的豪举。几年后，他高出了他早先的建设，赢得了古典学和科学的双重收获，这是三一学院学生往常从未作念过的事情。17岁时，他在拉普拉斯闻明的《Mécanique céleste（天膂力学）》中发现了一个造作。他在三一学院的一位教师约翰·布林克利（John Brinkley）感动地说：“这个年青东说念主，我不说他畴昔是，而是目下就照旧是他这个年级段的第一位数学家”。不久之后，布林克利成为主教并烧毁了他的评释职位，汉密尔顿（其时照旧又名本科生！）被选为布林克利的继任者。该职位附带的福利之一是爱尔兰皇家天体裁家的头衔以及住在都柏林郊区的邓辛克天文台。这项任命对爱尔兰来说并不好（新的皇家天体裁家在天体裁方面莫得特殊的才能），但对汉密尔顿来说却很好，因为通过他在天文台的租约，他最终碰到了住在隔壁的海伦·贝利（Helen Bayly），并娶了她。【注#2】
在运行他的天体裁职责之前，威廉游览了不列颠群岛，并碰到了诗东说念主威廉·华兹华斯（William Wordworth）；尽管年级出入三十岁，但两东说念主很快就成为了一又友。汉密尔顿的列传作家罗伯特·格雷夫斯（Robert Graves）报说念说，意外美妙到华兹华斯将汉密尔顿和诗东说念主柯尔律治（Coleridge）形色为“他见过的两个最了不得的东说念主，以他们整个的天资来看”。
这两个威廉的共同点比东说念主们联想的要多。华兹华斯不是哄骗科学的一又友（“科学只哄骗于生活的物资用途，与联想开战并但愿淹没联想力”），但他对包括数学在内的更纯正的科学神气有所观赏。在《序曲 Prelude》第六卷中，华兹华斯写说念：
但是，咱们可能不会完全冷落从几何科学基础中得到的乐趣......他接着深情地形色了他第一次斗争欧几里得几何学，回首说念：
那些抽象的魔力
何其宽绰...
一个孤独的天下，
由纯正的聪惠创造。
转而看汉密尔顿，他具有华兹华斯招供和讴颂的诗意明锐性。【注#3】
汉密尔顿养成了寄给华兹华斯诗歌的民风，寻求后者的坦率评价。华兹华斯看得出来，汉密尔顿既不是半吊子，也不是另一个华兹华斯。他还知说念，从汉密尔顿学术生活的告捷来看，这个年青东说念主对数学领域有着专有的观点。1831年，华兹华斯写信给汉密尔顿说：
“你给我寄来诗句，我和咱们环球雷同，至极欢笑地收到这些诗句；但是，咱们惦记这种服务会劝诱你偏离科学的说念路，你似乎注定要以如斯多的荣誉前行，并给东说念主们造福。我必须一次又一次地强调，诗歌的创作需要比东说念主们悦目确信的要多得多的艺术性，而其中的皆备告捷取决于多数的细节，而这些细节使我感到哀悼，你应该臣服于得到学问。”【注#4】
“之前想法越来越领悟”
若是你辩论过笛卡尔坐标，你可能还铭刻它们是以创始东说念主勒内·笛卡尔（René Descartes）的名字定名的，它们有两条直线，x轴和y轴，并在一个称为原点（origin）的点处相交。原点由数字对(0,0)涌现，你可能照旧猜到这个标记可以追思到笛卡尔，但事实并非如斯。教咱们用括号内以逗号分隔的两个数字来涌现平面上的一个点的数学家不是笛卡尔，而是汉密尔顿。
汉密尔顿之是以进行这项立异，是但愿揭开复数的诡秘面纱。汉密尔顿写说念：“莫得一个坦率和明智的东说念主会怀疑平行线（Parallel Lines）主要性质的真实性，正如两千年前欧几里得（Euclid）在他的《几何原来 Elements》中提议的那样。但是，怀疑甚而不确信负数（Negatives）和虚数（Imaginaries）的学说并不需要特殊的怀疑办法。”我不会在这里商议汉密尔顿认知负数的方法，但他找到了一种令东说念主信服的方法，将复数置于更坚实的东西中，即实数对，或者他称之为数对（couple）。【注#5】
汉密尔顿将数对相加的规矩很通俗：数对(a, b)和数对(c, d)的和即是数对（a+c，b+d）。数对相乘的规矩更为复杂：数对(a, b)和数对(c, d)的乘积是数对(ac − bd, ad + bc)。有东说念主可能会反对说第二条规矩看起来很奇怪，但莫得东说念主会反对说其中任何一条规矩推理违和。特殊是，断言 (0, 1) 乘以 (0, 1) 得到(−1, 0) 只不外是数对乘法规矩的胜利哄骗。【注#6】
这种计谋如斯灵验的原因是，若是你只看形为(r, 0)的数对——其中第一个数是任何你心爱的数，第二个数是0 —— 你会发现组合数对的规矩隐敝了组合数字的普通规矩。具体来说，(r, 0) 加上 (s, 0) 等于 (r+s, 0)，而 (r, 0) 乘以 (s, 0) 等于 (rs, 0)。因此，当使用汉密尔顿的加法和乘法规矩组合时，这么的数对行为花样与“单个”数（普通实数）在使用普通单个数加乘规矩组合时的行为花样交流。总的来讲，若是咱们把“实数”当作“鸭子”，第二个数为零的数对，就像“鸭子”雷同走路，像“鸭子”雷同游水，像“鸭子”雷同嘎嘎叫。但是，一朝你承认(−1, 0)像数字-1雷同嘎嘎叫，就很难幸免进一步断言(0, 1)像-1的平方根雷同嘎嘎叫，即使你宝石以为，在数字领域，不存在这么的平方根。
19世纪的玄学和19世纪的数学恰是在这里分说念扬镳。对于玄学家来说，将像(-1, 0)这么的数字与像-1这么的数字同日而言将是一个严重的造作，现实上是一个边界造作（玄学家可能犯的最难熬的造作之一）。但是当代数学需要这种东西，尽管为了幸免逻辑陷坑，东说念主们必须小心肠将两者接洽起来，而不是真的将它们等同起来。当代数学的一个分支称为边界论（category theory），使咱们能够开脱逆境——将“鸭子测试”不仅哄骗于复数，而且哄骗于咱们辩论的险些整个其他事物。【注#7】
汉密尔顿揭开复数诡秘面纱的标记花样补充了照旧很广大的几何方法，该方法将√(-1)与位于y轴上的笛卡尔平面中的点联系联，这个点比原点高一个单元。若是将两种神气的去诡秘化结合起来——“复数只是平面上的点”和“复数只是实数对”——就会得出“平面上的点只是实数对”。这为四维空间的去诡秘化翻开了大门，因为还有什么比括号内用逗号分隔的四个数字更粗拙无奇的呢？几代东说念主之后，可能是希尔伯特迈出了对欧几里得空间进行算术化的临了一步（高出欧几里得形色对于整个正整数n的 n维欧几里得空间，而不单是是 1、2 和 3），但翻开希尔伯特将要走过的大门的是汉密尔顿。
问题
汉密尔顿设计了数对的一种算术后，天然想知说念是否有办法扩充到三元数triple（或者，他恐怕称之为三元组triplet）。正如他其后在《四元数讲座》（1853年）的引子中所写的那样：“但是，有一个动机促使我特殊瞩目探讨三元数......这是以某种新的和有用的（或至少酷好的）花样，通过一些未被发现的扩充，将算计与几何学劝诱到三维空间的愿望。”
因此，汉密尔顿探讨了神气为（a, b, c）的三元数，每个三元数都被视为代表一个“超复数”（hypercomplex）a + bi + cj，其中i是-1的普通平方根，j是-1的另一个平方根，与i和-i都不同。汉密尔顿很明晰如何界说三元数的加法：就像 a+bi 加上 a'+b'i 等于 (a+a')+(b+b')i，汉密尔顿看到 a+bi+cj 加上 a'+b'i+c'j 应该等于 (a+a')+(b+b')i+(c+c')j 。
但是乘法应该如何界说呢？这个问题困扰了汉密尔顿多年，他并莫得向家东说念主掩蔽我方的纷扰。正如他其后在给犬子阿奇博尔德（Archibald）的一封信中所说：
“1843年10月初，每天早上，当我下来吃早餐时，你的哥哥威廉·埃德温（William Edwin）和你不息问我：'爸爸，你能作念三元数的乘法吗？’我老是不得不哀悼地摇摇头回答，'不，我只会加减。’”
天然，汉密尔顿可以用多数种花样界说三元数的乘法，举例通过公式 a + bi + cj 乘以 a' + b'i + c'j 等于 (aa') + (bb')i + (cc')j，就像他可以通过公式 a + bi 乘以 a' + b'i 等于 (aa') + (bb')i。但是后一个界说不会给出任何至极酷好的东西（特殊是，它不会给出一种念念考复数的方法），是往常一个界说不是他想要的东西。但是，当他还莫得发当前，他岂肯说出想要发现的东西呢？
其实他知说念想要访佛复数的乘法规矩。那么数对乘法规矩中的什么性质，他可能但愿三元数乘法规矩也能倨傲呢？
他挑出了两种性质。第一种性质是分拨律（distributive law），它断言 (a + bi)(c + di) 可以张开为(a)(c) + (a)(di) + (bi)(c) + (bi)(di)，或张开为 ac + adi + bci + bdii （是的 ，ii = −1，但这不是分拨率的一部分）。第二个性质是模定律（moduli law），它断言，若是咱们把 (a + bi)(c + di) 写为 x + yi，则 x + yi 的模（modulus，即劝诱 (x, y) 到 (0, 0)的线段长度）应该是 a + bi 的模和 c + di 的模的乘积。这是我在《螺旋天地的曲解数字》 https://mathenchant.wordpress.com/2022/07/17/twisty-numbers-for-a-screwy-universe/ 中写到的“向量大小的乘法”（magnitudes multiply）规矩。换句话说，√(x²+y²) 应该等于 √(a²+b²) 乘以 √(c²+d²)，或者（去掉那些敌视的平方根）x²+y² 应该等于 (a²+b²)(c²+d²)。【注#8】
因此，汉密尔顿牢牢收拢类比（analogy）的缰绳，寻求一种方法将乘积（a+bi+cj)(d+ei+fj）写成(...) + (...)i + (...)j（咱们将那些未知的括号抒发式称为 x、y 和 z），这么 x + yi + zj 将等于张开后ad + aei + afj + bdi + beii + bfij + cdj + ceji + cfjj的和（一种新的分拨律），同期 x² + y² + z² 的和因式分解为 (a²+b²+c²)(d²+e²+f²)（新的模定律）。
鉴于新分拨性质假定的正确性，汉密尔顿需要作念的即是弄明晰ii，jj，ij和ji是什么（或者更真的地说应该是什么），他能将任何三元数乘以任何其他三元数，尽管若是他作念出造作继承，则对三元数的运算将无法倨傲他想要的模定律。他照旧知说念但愿 ii 和 jj 等于 −1，是以只需弄明晰如那边理 ij 和 ji 的问题。首先他设两者等于 0，但这导致了问题。事实上，方程 ij = 0 与模定律相矛盾，因为 i 和 j 的模均为 1，而 0 的模为 0。
汉密尔顿决定放宽ij = ji = 0的假定，但保留ij和ji是互相相悖数的假定。也即是说，他假定对于 p、q 和 r 的某种明智继承，会有 ij = p+qi+rj，而 ji = −p−qi−rj。他给 i 和 j 的未知乘积起了 k 这个名字，并发现使用 ij = k 和 ji = −k 会导致两个一般三元数的乘积模中出现一些看起来很有但愿的对消（cancellation）。事实上，他发现这两个公式导致了其他四个访佛的公式：jk = i，kj = −i，ki = j和ik = −j。但是他找不到数字p，q和r可以使完整的假定生效。
管理决议
1843年10月16日，汉密尔顿和他的妻子沿着皇家运河的纤说念行走运，倡导上的僵局得到了管理。他一忽儿预料，他的k不是一个需要解出的未知数；它是一个孤独的虚数单元，与i和j是对等的伙伴。也即是说，他一直试图作念三元数乘法是造作的；相悖，他应该探讨将神气 a + bi + cj + dk 的四元数相乘。规矩 ii = −1， ij = k， ik = −j， ji = −k， jj = −1， jk = i， ki = j， kj = −i 和 kk = −1（与分拨律结合）给出了算计任何两个四元数乘积的步调，而况，正如他沿着运河得到直观并在其后考证的那样，四元数乘法的这种界说倨傲模定律。汉密尔顿感奋地将他的中枢发现雕镂到运河沿岸的石桥来牵挂这一冲突：
i²=j²=k²=ijk=-1
汉密尔顿在布鲁姆桥上的雕镂早已被抹去，但这个故事是数学家时有滑稽而温顺的牵挂碑。也许它也应该成为数学家配偶具有耐烦的牵挂碑；我想汉密尔顿夫东说念主其时在想“为什么他不可像其他东说念主雷同在餐巾纸上写这些东西？”但她把这个想法只留给了我方。
在他得到发现后的第二天，汉密尔顿写信给他的大学一又友数学家约翰·格雷夫斯（John Graves），他和他的昆玉罗伯特·格雷夫斯（汉密尔顿最终的列传作家）和查尔斯·格雷夫斯雷同，对空间代数的倡导留恋，他们的服务在某些方面启发了汉密尔顿我方的想法。汉密尔顿写说念：“...在这里，我一忽儿坚韧到，在某种说念理上，咱们必须承认空间的第四维，以便用三元数进行算计。...咱们必须承认第三个虚数标记 k，不要与 i 或 j 收敛，它是等于以i作为被乘数，j作为乘数的乘积；因此，我被引入如a + bi + cj + dk即(a, b, c, d)四元数之门【注#9】。”汉密尔顿是第一个，但远非临了一个，数学家碰到“特殊维度”的迷东说念主景观，其中某些偶合使奇特的事情发生。【注#10】
格雷夫斯很快就看到了汉密尔顿所作念的事情的进军性，而况比汉密尔顿更快地看到了它如何导致更高的维度。格雷夫斯在回答中写说念：“若是用你的真金不怕火金术可以制造出三磅黄金，你为什么要停步于此？”（其中“三”卤莽是汉密尔顿的i，j和k）。两个月后，格雷夫斯写信给汉密尔顿，提议了他我方的数字系统，他称之为“八元数”（octave），涵盖汉密尔顿的，但加入了四个新的虚数单元l，m，n和o。八元数是由数学家亚瑟·凯莱（Arthur Cayley）孤独发现的（有些东说念主称它们为凯莱数），目下平淡被称为八元数（octonian）。还值得一提的是，八元数乘法不可倨傲结合性质：也即是说，若是o，p和q是八元数，那么乘积(op)q和乘积o(pq)平淡不十分。在这里，咱们看到了一个我称之为衡量（trade-off，鱼与熊掌不可兼得）原则的例子：数学系统范围的扩大平淡需要放浪某个一般性祭坛上的东西。
咱们之前照旧看到了衡量原则。探讨一下：当咱们从实数转向复数时，咱们失去了三分法定律（trichotomy law，给定两个实数r和s，r < s，r = s，r >s三种关系中恰有之一设立），事实上，说一个复数小于或大于另一个复数应该是什么说念理是不明晰的。复数倨傲交换律（commutative law，给定两个复数α和β，αβ = βα），但是当咱们从复数移动到四元数时，咱们失去了交换性质。因此，当咱们从四元数移动到八元数时，咱们失去了结合性，这不应该让咱们感到骇怪。咱们向更全面的数字系统发展，有所扩大，但也有所稀释。（除了八元数除外，还有一些系统，特殊是十六元数（sedenion），放浪了更多的性质，举例模定律，但我对它们无话可说）。是以，我对格雷夫斯的反问“为什么要停步于此？”的回答是，童话中贪图者所知的东说念主生粗重事实：愿望成真，但需代价。
1844年，汉密尔顿完了了他使用四元数将算计与几何和物理学接洽起来的愿望。他以为四元数 a+bi+cj+dk 是两部分的和：他称a为标量部分，bi+cj+dk为向量部分——可写成三元数 (b, c, d)。他指出，他的向量为牛顿对于速率和力相加的念念想提供了一种天然言语。更进军的是，汉密尔顿标明，若是将每个四元数写为标量和向量的总额（a+v，举例，其中v = bi+cj+dk），那么两个四元数a+v和a'+v'的乘积可以张开为各式孤独酷好抒发式的和：标量aa'；标量 − bb' − cc' − dd'；向量 ab'i + ac'j + ad'k 和 a'bi + a'cj + a'dk 和向量 (cd'−c'd)i + (b'd−bd')j + (bc'−b'c)k。是以事实上，他最终找到了三种进军的新方法来乘以三元数（抒发式 ab'i + ac'j + ad'k 和 a'bi + a'cj + a'dk 以访佛花样形成，因此它们四肢一种单一的乘法方法）。第一种方法将向量乘以向量以产生标量；第二种方法将标量乘以向量以产生一个向量；第三种将向量乘以向量以产生向量。其中第三种在某些方面接近汉密尔顿首先寻求的“一种新的有用（或至少酷好）的三元数乘法方法”，它倨傲分拨律，但它不倨傲模定律，是以他莫得探讨它，直到它作为四元数乘法的副产物出现。（它也不是倨傲结合率的）。【注#11】
汉密尔顿还想出了如何将四元数与三维空间中的旋转接洽起来。这是一件很天然的事情，因为复数与二维空间中的旋转密切联系。复数 w = cos θ + i sin θ 具有以下性质：当你将其他复数 z 乘以 w 时，你将 z 围绕复平面的原点旋转一个角度 θ。汉密尔顿发现了一个访佛的四元数故事，尽管与四元数的非交换性质保持一致，但它有点辣手。为了使用旋转向量 w 对三维向量 v 进行操作，咱们得到wvw'，其中 w' 是 cos θ − i sin θ（w 的倒数）。向量 wvw'是向量 v围绕i轴旋转 2θ 角。（2 这个因子很进军；预示着四元数在20世纪初被放置以及它们在20世纪末的回生，我将稍后解释）。
汉密尔顿悦目在他的四元数界说中放置交换性质，这天然是一个斗胆而进军的才调，但它并不是假造而来的。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）照旧评释，当一个东说念主折服球体的一个轴旋转，绕第二个轴旋转时，复合操作又是围绕第三个轴旋转一定角度，他知说念施行两个重量旋转的规章会影响得到的复合操作。这是你可以用任何大致为立方体的物体松驰考证的东西（一册书就可以了）。将书放在你眼前的桌子上，先旋转90度俯仰角（pitch，围绕x轴旋转），然后旋转90度横滚角（roll，围绕z轴旋转），并防范书的标的。目下重迭实验，但这次先进行俯仰角旋转；你会防范到，这本书的最终标的与那种先俯仰角旋转然后横滚角旋转不同。若是按照先俯仰角后偏航角（yaw，围绕y轴旋转），或先偏航角后横滚角，情况也有所不同。https://zh.wikipedia.org/wiki/航空器三主轴
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汉密尔顿知说念欧拉的服务，是以他可能怀疑，若是他的新数字要形色三维旋转，那么新数字必须分摊旋转已具有的非交换性。【注#13】
有一些酷好的谜题基于三维空间中旋转不倨傲交换率，以及在桌子上周折立方体时，它可以按照与运行不同的标的回到原位置这一联系事实。罗伯特·阿博特（Robert Abbott）创始了所谓的周折立方体迷宫；一个具有挑战性的例子是 https://logicmazes.com/rc/gms5.html 。若是你更心爱带有视频组件的周折对象游戏，请检察Block 'n' Roll https://www.playit-online.com/puzzle-onlinegames/block'n'roll/ 。或者，若是你想要与四元数更胜利联系的游戏，请尝试“Groupdoku”四元数游戏 http://quadratablog.blogspot.com/2018/08/mathfest-2018-puzzles-quaternion.html 或汉密尔顿纸牌游戏 http://www.mathsireland.ie/hamilternion 。
死一火与新生
若是四元数表面是念念想市集上的一家初创公司，那么它的股票价值将在汉密尔顿的伟大发现三十年后达到顶峰，其时物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）使用四元数来制定他的电磁学表面。
从那之后运行走下坡路。汉密尔顿尽管（或者也许是因为）有诗意神韵，但并不有助于让他成为他的表面最领悟的解释者；他经常很啰嗦。在他临了一次尝试解释四元数（威廉身后由他的犬子完成）时，他选择了欧几里得的《几何原来》作为他的模子，并消失了他早期的四元数代数公式，转而使用更几何的东西，这天然更无助。汉密尔顿以为，他首先的“i，j和k”方法的漏洞在于，它需要特殊继承三个垂直轴。你继承哪三个垂直轴最终并不进军，但你必须继承，不然你就无法将表面付诸实践。汉密尔顿大致在1848年写说念：“我以为四元数是不优雅或不完好的，或者更真的地说，迄今为止，它张开的景况一朝变得或似乎有必要求援于x，y，z等时，是不优雅或不完好的”。因此，他提议了一种新的方法，其中向量位于欧几里得的3维空间中（莫得偏疼的轴），四元数被界说为一个向量的商除以另一个向量。这种方法很难折服，而跟着时候的推移，越来越少的东说念主阅读汉密尔顿的四元数原来。用凯莱的话来说，四元数代数就像一张微型舆图，“它包含了一切，但必须张开成另一种神气才能被认知。”
张开的东说念主是Josiah Willard Gibbs（约西亚·威拉德·吉布斯），Oliver Heaviside（奥利弗·赫维赛德）和Hermann von Helmholtz（赫尔曼·冯·亥姆霍兹）的三东说念主组，他们扯破了四元数，分裂了他们的标量和向量部分。在咱们的科技创业类比中，你可以将这三者视为企业洗劫者。他们看到汉密尔顿想出了一些优秀的产物，但莫得给它们打上烙迹，也莫得创造一个好的界面（即便捷的象征说念理）。因此，他们界说了
标量乘积
a(b, c, d) = (ab， ac， ad)
点积
(b, c, d)·(b', c', d') = bb' + cc' + dd'
叉积
(b, c, d)×(b', c', d') = (cd' − c'd)i + (b'd − bd')j + (bc' − b'c)k
整个这些都是汉密尔顿发现但莫得定名的。完整的四元数乘积呢？“哦，那是四维的；难以联想；对咱们来说不是一个好产物。咱们怎样能把它卖给一年级的学生呢？”这三东说念主从四元数公司的学问产权IP中窃取了“标量”和“向量”这两个词，但扔掉了无利可图的四元数自己。麦克斯韦使用汉密尔顿发明的三种神气的向量乘法（升级为微分算子散度 divergence、梯度 gradient和旋度 curl）重写了他的电磁学公式，莫得提到四元数。
汉密尔顿的数学与19世纪后期物理学的需求（如麦克斯韦在电磁学方面的服务）之间的一种不匹配可以在前边提到的倍角景观中看到。当你通过将四元数向量 v 前乘以向量 cos θ + i sin θ 并将其后乘以 cos θ − i sin θ 来操作四元数向量 v 时，你灵验地将 v 绕 i 轴旋转的角度为 2 θ 而不是 θ。若是 θ 是 180 度怎样办？咱们的旋转将 v 发送到 （−1)(v)(−1），它等于 v。这可能看起来可以，但探讨到(+1)(v)(+1）亦然v。是以咱们有两个不同的四元数，+1 和 −1，它们都对应于围绕 i 轴的无操作的旋转。这种冗余并不是误操作的旋转所特有的；对于你可以在三维空间上施行的使原点固定不动的每种旋转，有两个四元数单元元可以完成这项服务。（将其与复数进行对比，其中复数单元元与围绕 0 的旋转之间存在逐一双应关系）。从某种说念理上说，四元数的复杂历程是吉布斯、赫维赛德和冯·亥姆霍兹所设计的各式哄骗所需的两倍。
作为莫大的耻辱，闻明物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，别名开尔文勋爵 Lord Kelvin）抒发了对非四元数向量的强烈偏好：“四元数来自汉密尔顿，在他真的出色的服务完成之后，固然紧密微妙，但对于那些以任何花样斗争它们的东说念主来说，四元数是一种未羼杂的狰狞”。四元数学会（矜重称呼为外洋促进四元数和联整个学系统辩论协会）于1913年终结。当我了解线性代数课程中的向量时，向量与标量相加是目所未睹的——数学上相配于苹果与橘子相加。我怀疑我的教师不知说念向量的发明者强调确信你不仅可以，而且应该把标量和向量相加！
在某种历程上，四元数的问题在于它们在被需要之前提前出现。以我刚才谈到的翻倍景观为例。为什么应该有两种形色每个旋转的花样？一个很好的谜底是，在机器东说念主技能中，有两种拓扑不同的花样可以通过刚性连杆来完了任何给定的旋转！这与这么一个事实关系，若是你手里拿着一个盘子，那么，不放开盘子或改动你持住它的花样，而只需先将盘子放在你的手臂上，然后在它底下，你可以将盘子旋转 720 度，这么即使盘子照旧转了两圈，你的手臂位置还会跟往常雷同。通过重迭该动作（称为巴厘岛板手段 Balinese plate trick），你可以完了淘气偶数的旋转。但是，你的手臂无法只旋转一整圈，或任何奇数整圈，而回到往常的位置。四元数 +1 对应于通过偶数圈旋转板的机器东说念主机械安设，而四元数 −1 对应于通过奇数圈旋转板的机器东说念主机械安设。数学家安德·霍洛伊德（Ander Holroyd）制作了乐高机械开采来阐发这一景观；请看他的视频“旋转连杆”（下图 https://youtu.be/oRPCoEq05Zk ）。
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若是你倾向于我方构建一个，请参阅他的阐发 https://rebrickable.com/mocs/MOC-50050/aeh5040/spinor-linkage/ 或随附的文章 https://arxiv.org/abs/2107.01681 。另请参阅维基百科文章反曲解机械安设 https://en.wikipedia.org/wiki/Anti-twister_mechanism ，以了解关系如何幸免在电缆中曲解的更多信息。
甚而在机器东说念主技能出现之前，就有了量子表面，特殊是费米子（fermion）的倡导：量子波函数倨傲费米-狄拉克统计的粒子。因而给粒子一个完整的旋转对应于将波函数乘以-1。（从未见过费米子？不，你见过，若是你在冬天触摸过门把手并受到电击的话；电子是费米子。）费米子的数学形色用目下所谓的泡利矩阵（Pauli matrices）来涌现，但用四元数也会作念得很好。
除了在机器东说念主技能中的用途外，四元数量下还用于游戏软件。1996年发布的《古墓丽影》可能是第一款通过使用四元数完了光滑三维旋转后果的巨匠市集视频游戏；关系更多信息，请参阅 Gameludere 文章《欧拉角、汉密尔顿四元数和视频游戏》https://www.gameludere.com/2020/03/12/euler-angles-hamilton-quaternions-and-video-games/ 。从1986年航天飞机的姿态戒指机械安设运行，四元数在天际旅行中也阐明了作用。即使年青的爱尔兰皇家天体裁家对19世纪的天体裁莫得孝顺，汉密尔顿也对20世纪的航天产生了影响！
汉密尔顿在另一个方面是有预知之明的。在其后出书的《四元数讲座 Lectures on Quaternions》中，他添加了一个脚注，说：“将这个空间外的单元与时候的倡导接洽起来，是天然的（在我看来，目下仍然如斯）”。也即是说，在四元数a + bi + cj + dk中，他联想a是访佛时候的，bi + cj + dk是访佛空间的。在这少量上，他意象了闵可夫斯基空间（Minkowski space），狭义相对论发生的舞台。还铭刻麦克斯韦首先用四元数写了总揽电磁学的方程，麦克斯韦方程（以去四元数的神气）启发了爱因斯坦的时空倡导。若是麦克斯韦莫得被大向量（Big Vector）劝服，用标记重写他的方程，碎裂四元数的标量和向量部分，狭义相对论会更早被发现吗？
我将以汉密尔顿我方以十四行诗（sonnet）的神气演绎他的伟大发现来结果，名为Tetractys（圣十）。【注#14】
高档数学之魔力严厉，
直线与数字乃吾主题；
觊觎它未出身的后代，
而王座留在真谛苍穹；
之前想法越来越领悟；
一维时候和三维空间，
在标记链中牢牢环绕：
我渴慕而康复的耳朵，
捕捉到古曲隐微回声，
旧念念想空洞宏伟无极，
他柔柔一笑以示苏醒，
晚年我在西方景观中，
奴婢微辞的毕氏别传；
作念诡秘西游的四元梦。
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【尾注】
#1.为了平正对待凯瑟琳的父母，应该防范的是，汉密尔顿从未告诉凯瑟琳，他的情态不单是昆玉心思，更毋庸说告诉她的父母他有任何诚意的意图了。
#2.尽管东说念主们很容易将威廉和凯瑟琳塑形成注定要失败的随便的悲催东说念主物，凯瑟琳的故事无疑是厄运的，但威廉能够在他的性掷中链接前进，而他与海伦的婚配是幸福的。
#3.1832年，汉密尔顿在一次对于天体裁的演讲中声称：“尽管诗歌和科学之间存在整个真的的互异，但她们之间存在很强的相似性；两边都领有的力量，将念念想晋升到千里闷扯后腿的地球之上，并从初级说念理中胜出；两者都有点火可激励的温顺和对成名的好意思好愿望的倾向；都可以将她的奉献者带入她我方创造的天下的魔力；也许，两者都产生一种随之而来的倾向，对喧嚣震动的现实生活的不稳妥。
#4.在对这些细节进行了一次翔实商议之后，华兹华斯写说念：“我可以毫无记挂地说，这些诗句至极有活力，酷好而宽裕诗意。它们所形色的秉性变化是一个有启发性的千里念念对象，合座都带着情态运行”。尽管如斯，总的信息照旧很明确的：你是一位优秀的诗东说念主，但却是天下级的数学家，是以要把元气心灵皆集在后者上！
#5.今天咱们称这么的数对为有序对，其中包含修饰符“有序”是为了强调(2, 3)和(3, 2)将被解释为不同的数对。这个结果条目是必要的，以确保 2 + 3 i 和 3 + 2i 将被解释为不同的复数。
#6.追念一下，汉密尔顿第一次斗争数学是通过默算（mental calculation）艺术。我推测，这种特殊的发蒙——专注于如何对数字进行操作，而不是数字的现实含义——使他倾向于数学实体的操作方法，这对于他处理复数以及他其后发明的四元数至关进军。
#7.这是亨利·庞加莱（Henri Poincaré）写下“数学是给不共事物起交流称呼的艺术”时所抒发的一部分说念理。有序对 (0, 1)（汉密尔顿东说念主为算术的住户）和数字 −1（实数系统的住户）是不同的实体，但它们在如何与相应其他实体交互方面具有交流的属性，因此出于某些蓄意，咱们有权将它们视为交流。
#8.你可能会以为，既然咱们目下是三维而不是二维，这些指数应该是3，而不是2。这是学生在学习如何将勾股定理扩充到三维时频繁作念出的测度。但这两个确乎是正确的；从 (x, y, z)到 (0, 0, 0) 的距离是 x² + y² + z² 的平方根，而不是 x³ + y³ + z³ 的立方根。看到后一个公式不正确的一种方法是探讨 z = 3 时的情况。若是立方和的立方根公式正确，则 (x, y, 0) 和 (0, 0, 0) 之间的距离必须是 x³ + y³ 的立方根。但由于 (0，0，0) 和 (x，y，0) 都位于 z = 0 平面内，咱们可以哄骗普通的二维距离公式，推导出 (x，y，0) 和 (0，0，0) 之间的距离是 x² + y² 的平方根，而不是 x³ + y³ 的立方根。
#9.其后他会后悔他莫得从希腊词根gram-（直线）和arithm-（数字）中称它们为grammarithm，从而咱们称之为四元数的标量和向量部分将改为称为grammarithm的arithmetic和grammic部分，但那时改动术语为时已晚。
#10.1898年，数学家阿说念夫·赫维茨（Adolph Hurwitz）标明，汉密尔顿未能弄明晰如何作念三元数乘法并不是由于枯竭细察力；汉密尔顿为我方设定的问题只可在维度1、2、4和8中完了。这种景观的最新体现来自弦表面背后的数学，它只适用于某些“魔术”维度。
#11.受康德影响的汉密尔顿首先试图将他的数学念念想与代数作为纯时候科学的不雅点接洽起来，这使他以为代数应该仅限于辩论倨傲结合律的运算。当他碰到非结合运算，如八元数的乘法和他将向量乘以向量的花样时，这使他从头评估了他早期的态度，而况他愈加赞同Peacock和德·摩根（de Morgan）的不雅点，即以为代数是未解释标记的解放阐明。
#12.一个阐发性的例子是 w = i， w' = −i。咱们算计
(w)(i)(w') = −iii = i
(w)(−i)(w') = +iii = −i
(w)(j)(w') = −iji = −j
(w)(−j)(w') = +iji = j
(w)(k)(w') = −iki = −k
(w)(−k)(w') = +iki = k
向量 i 和 −i 保持固定，而 j 和 −j 被交换，k 和 −k 被交换，正如咱们在围绕 i 轴旋转 180 度时所盼望的那样。
#13.另一个可能导致汉密尔顿推断他需要他的乘法短长交换的旅途（尽管不是他现实效力的旅途）是探讨乘积(i − j)(i + j)。由于它是两个非零四元数的乘积，模定律意味着它必须短长零的。但是，把柄分拨律，它张开为 ii + ij − ji − jj。由于 ii = jj = −1，因此第一项和第四项对消，得到 ij − ji。因此，不等式 (i − j)(i + j) ≠ 0 胜利涌现了 ij − ji ≠ 0 的不等式，这只是 ij ≠ ji 的另一种说法。
#14.在毕达哥拉斯诡秘办法中，tetractys（圣十）是一个由十个点构成的三角形，每边有四个点，通过1 + 2 + 3 + 4的和来代表数字四。将四元数与这个诡秘的标志接洽起来有点牵强。但是说到tetractys，这里有一个小的数学历史诡计论给你。你听说过一个被毕达哥拉斯昆玉会谋杀的喜帕索斯（Hippasus）吗？故事是这么的，他们这么作念是为了转折喜帕索斯评释（或者是为了宣传？）2平方根的特殊性。但这只是一个封面故事。他真的的“罪孽”，被昆玉会掩蔽了两千年，是发明了今天被称为保龄球的亵渎通顺。
参考文件
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威廉·罗文·汉密尔顿，《四元数讲座》（都柏林，1853年） https:///details/lecturesonquater1853hami
威廉·罗文·汉密尔顿，《四元数元素》（都柏林，1866年） https:///details/elementsquaterni00hamirich
威廉·罗文·汉密尔顿，《时候之一，空间三东说念主：威廉·罗文·汉密尔顿爵士诗集》 https://web.mit.edu/redingtn/www/netadv/SP20141215.html
凯西琼斯，《四元数是惊东说念主的，威廉·罗文·汉密尔顿亦然如斯！》 https://www.youtube.com/watch?v=CdwxpSInhvU
亚历山大·麦克法兰，威廉·罗文·汉密尔顿爵士，《十九世纪十位英国数学家讲座》第3章 https://etc.usf.edu/lit2go/27/lectures-on-ten-british-mathematicians/272/chapter-3-sir-william-rowan-hamilton/
MacTutor，《威廉·罗文·汉密尔顿》 https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hamilton/
Colm Mulcahy，Anne van Weerden和Michel Destrade，《19世纪爱尔兰数学家如何匡助NASA干与天际》 https://www.rte.ie/brainstorm/2019/1016/1083716-how-a-19th-century-irish-mathematician-helped-nasa-into-space/
Jose Pujol， 《汉密尔顿、罗德里格斯、高斯、四元数、旋转：历史再评估》， 2012.1 数学分析通信 13(2) https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-analysis/volume-13/issue-2/Hamilton-Rodrigues-Gauss-Quaternions-and-Rotations-aHistorical-Reassessment/cma/1349803591.full
Jose Pujol，《对于汉密尔顿在旋转和四元数之间关系以及旋转组合花样的险些被淡忘的早期服务》，2014.6 好意思国数学月刊 121(6) https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.121.06.515
都柏林三一学院，《形色四元数发现的信件》 https://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Letters/BroomeBridge.html
B. L. van der Waerden，《汉密尔顿对四元数的发现》，《数学杂志》，第49卷，第5期，1976.11 https://www.maa.org/sites/default/files/images/images/upload_library/22/Allendoerfer/1977/0025570x.di021097.02p0154a.pdf
安妮·范·韦尔登，《凯瑟琳·迪斯尼：列传素描》 https://annevanweerden.nl/docs/Catherine_Disney.pdf
安妮·范·韦尔登，《维多利亚时期的婚配：威廉·罗文·汉密尔顿爵士》 https://annevanweerden.nl/VictorianMarriage.html
维基百科，《四元数的历史》 https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_quaternions
维基百科，《威廉·罗文·汉密尔顿》 https://en.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton
查理伍德，《催生当代代数的奇怪数字》，量子杂志，2018-9-6 https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/
原文联贯：
https://mathenchant.wordpress.com/2023/05/17/hamiltons-quaternions-or-the-trouble-with-triples/
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